$\int_{0}^{1} 9x^8 dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$ का मान है

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है जिसका अवकलज $f^{\prime}$ सतत है और $f(\pi)=-6$ है। यदि $F:[0, \pi] \rightarrow R$ को $F(x)=\int_0^{ x } f( t ) dt$ द्वारा परिभाषित किया गया है,और यदि $\int_0^\pi\left(f^{\prime}( x )+ F ( x )\right) \cos x dx =2$ है,तो $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f$,$[0, 1]$ पर एक वास्तविक मान वाला सतत फलन है और $f(x) = x + \int_{0}^{1} (x - t) f(t) dt$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु $(x, y)$,वक्र $y = f(x)$ पर स्थित है?

मान लीजिए $F: R \rightarrow R$ एक तीन बार अवकलनीय फलन है। मान लीजिए $F(1)=0, F(3)=-4$ और सभी $x \in (1/2, 3)$ के लिए $F^{\prime}(x) < 0$ है। मान लीजिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x)=x F(x)$ है।
$1.$ सही कथन है(हैं):
$(A) f^{\prime}(1) < 0$
$(B) f(2) < 0$
$(C) \text{किसी भी }x \in (1,3) \text{के लिए }f^{\prime}(x) \neq 0$
$(D)$ कुछ $x \in (1, 3)$ के लिए $f^{\prime}(x)=0$
$2.$ यदि $\int_1^3 x^2 F^{\prime}(x) dx = -12$ और $\int_1^3 x^3 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ है,तो सही व्यंजक है(हैं):
$(A) 9 f^{\prime}(3)+f^{\prime}(1)-32=0$
$(B) \int_1^3 f(x) dx = 12$
$(C) 9 f^{\prime}(3)-f^{\prime}(1)+32=0$
$(D) \int_1^3 f(x) dx = -12$
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए उत्तर दें।

यदि परवलय $y = ax^2 + bx + c$ के शीर्ष का भुज $1$ $(a, b, c > 0)$ है और $f(x) = \int_0^x (3at^2 + bt + c) dt$ एक निरंतर वर्धमान फलन है $\forall x \in R$ के लिए,तो $[\frac{a}{c}]$ का अधिकतम संभव मान क्या है (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)?

संख्याएँ $P, Q$ और $R$ जिनके लिए फलन $f(x) = P{e^{2x}} + Q{e^x} + Rx$ शर्तों $f(0) = -1$,$f'(\log 2) = 31$ और $\int_0^{\log 4} [f(x) - Rx] \, dx = \frac{39}{2}$ को संतुष्ट करता है,वे हैं